Himpunan [ Matematika Distrik ]

• Teori Himpunan

Materi Mata Kuliah Matematika Diskrit

HIMPUNAN

1.1      Definisi

Himpunan (set) merupakan kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan definisi (syarat) tertentu dan jelas Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).. Adapun objek objek yang ada dalam himpunan tersebut dinamakan unsur atau anggota himpunan. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dan sebagainya. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dan seterusnya.

Sebuah objek dalam suatu himpunan disebut sebagai elemen atau anggota himpunan. Dan suatu himpunan harus memiliki elemen atau anggota himpunan.

Keanggotaan himpunan dinyatakan dengan notasi  ’∈’. Contoh:

Z = {a, b, c}

a ∈ Z : a merupakan anggota himpunan Z.

k ∉ Z : k bukan merupakan anggota himpunan Z.

1.2      Keanggotaan Himpunan

1.2.1 Penyataan anggota himpunan

Ada 4 cara untuk menyatakan himpunan, yaitu  :

1. Mencacah anggotanya (enumerasi).

Himpunan dinyatakan dengan mendaftarkan semua anggotanya dengan diletakkan didalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh:  Himpunan huruf vokal: B = {a, i, u, e, o}.

Himpunan tidak harus menyebutkan anggotanya secara berurutan. Ketika uutan itu dianggap penting, maka struktur yang berbeda akan diperlukan untuk menyatakan urutannya. Inilah yang disebut sebagai ordered n-tupples. Dalam struktur ini jika tertulis (a,b,c,…) maka a akan menjadi elemen pertama, b elemen ke dua, c elemen ketiga dan seterusnya.            

2. Menggunakan simbol standar (baku)

Himpunan dapat dinyatakan dalam simbol standar (baku) yang telah diketahui dan disepakati secara umum oleh masyarakat (ilmiah).

Contoh:

N =  himpunan bilangan alami (natural)

Z =  himpunan bilangan bulat

Q =  himpunan bilangan rasional

R =  himpunan bilangan riil

C =  himpunan bilangan kompleks

Namun penulisan dengan cara ini menimbulkan ambigu pada kasus kasus tertentu misalkan dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini bukan merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.

3. Menuliskan kriteria syarat keanggotaan himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan kriteria (syarat/ciri ciri umum) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasikan sebagai berikut :

{ x ⎥ syarat yang harus dipenuhi oleh x }  

Contoh: 

(i)  A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}

(ii)  M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit}    

            Atau bisa juga dituliskan

            M = { x adalah mahasiswa | ia mengambil kuliah matematika diskrit}

4. Menggunakan Diagram Venn

Suatu himpunan  dapat  dinyatakan  dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn. Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

1.2.2 Kardinalitas dan Macam macam Himpunan

Jumlah unsur  dalam suatu himpunan dinamakan  kardinalitas dari himpunan tersebut. Untuk menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis dengan  notasi: n(A) atau |A|. Contoh :

(i)   B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 10 },atau B = {2, 3, 5, 7 } maka |B| = 4 

(ii)  A = {a, {a}, {{a}} }, maka |A| = 3

Jika ada sejumlah n elemen dalam himpunan S dimana n adalah nonnegative integer maka dikatakan bahwa S adalah himpunan terhingga dan n adalah kardinalitas dari S, dinotasikan dengan |S|

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A merupakan  suatu himpunan yang unsur-unsurnya merupakan semua himpunan bagian dari  A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Himpunan kuasa dinotasikan oleh  P(A). Jumlah anggota (kardinal) dari suatu himpunan kuasa bergantung pada kardinal himpunan asal. Misalkan, kardinalitas himpunan A adalah m, maka |P(A)| = 2^m. 

Contoh:  Jika A = { x, y }, maka P(A) = { ∅, { x }, { y }, { x, y }}                   

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah  P(∅) = {∅}, sementara itu himpunan kuasa dari himpunan {∅} adalah P({∅}) = {∅, {∅}}. 

Jika S adalah suatu himpunan, maka yang disebut dengan power set adalah semua subset dari himpunan S. Power set dinotasikan sebagai P (S). 

Berdasarkan anggota anggotanya, maka himpunan digolongkan sebagai berikut :

1. Himpunan Kosong

Jika suatu himpunan tidak mempunyai anggota, dengan kata lain dengan kardinalitas himpunan tersebut sama dengan nol maka himpunan tersebut dinamakan himpunan kosong (null set). Notasinya: ∅ atau {}

Akan tetapi jika dijumpai B = {{ }} atau dapat juga ditulis sebagai B = {∅} maka B tidak disebut sebagai himpunan kosong karena ia memuat satu unsur yaitu himpunan kosong.

2. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U. Contoh:

Jika U = {1, 2, 3, 4, 5} sebagai semesta pembicaraan dan A = {1, 3, 5} maka dikatakan bahwa A merupakan  himpunan bagian dari U.

3. Himpunan Bagian

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi himpunan bagian  : A  ⊆ B   atau  A  ⊂ B   

Jika digambarkan dalam bentuk diagram Venn himpunan bagian tersebut menjadi :

Sebagai sebuah himpunan bagian, maka untuk setiap  himpunan A  berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ⊆ A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( ∅ ⊆ A).

(c) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C

∅ ⊆ A dan A ⊆ A, maka ∅ dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.  Pernyataan  A ⊆ B berbeda dengan A ⊂ B karena notasi A ⊂ B berarti A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B sedangkan pernyataan   A  ⊆  B digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B. Yang demikian dikatakan bahwa A  merupakan  himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. 

Himpunan A disebut sebagai subset dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Kita menggunakan notasi A⊆B untuk menunjukkan bahwa A adalah subset dari B.

4. Himpunan Ekivalen

Dua buah himpunan dikatakan sama jika memenuhi kondisi berikut :

A =  B  jika dan hanya  jika setiap unsur  A merupakan unsur  B dan sebaliknya setiap unsur B merupakan unsur A. 

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C  berlaku aksioma berikut:

(a)  A = A, B = B, dan C = C     

(b) Jika A = B, maka B = A

(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

Dua buah himpunan dikatakan ekivalen jika masing-masing mempunyai kardinalitas yang sama.  Misalkan,  himpunan  A  adalah  ekivalen  dengan  himpunan B berarti kardinal dari himpunan A dan himpunan B adalah sama, notasi yang digunakan adalah : A ~ B  

Contoh: 

Misalkan A = { 2, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab |A|=|B|= 4 

Dua himpunan dikatakan ekivalen jika dan hanya jika memiliki anggota himpunan yang sama.            

5. Himpunan Disjoint 

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki unsur yang sama. Notasi yang digunakan adalah  A // B . 

Misalnya A = {x /x = bilangan bulat positif}

B = {x /x = bilangan bulat negatif}

Maka A dan B merupakan dua himpunan yang saling lepas.

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah sebagai berikut :

Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) bila irisannya adalah himpunan kosong.

6. Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga (infinit).

Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga. Contoh :

 H = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif } = {1, 2, 3, ……}. Maka H disebut himpunan tak berhingga.

K = { x, y, z}. Maka K disebut himpunan berhingga.

Himpunan yang tidak berhingga disebut himpunan infinit

1.3  Operasi Himpunan

1. Irisan (intersection)

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘.

            Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka 

A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah sebagai berikut :

Jika A dan B adalah himpunan maka irisan A dan B dinotasikan dengan AnB adalah himpunan yang berisi semua elemen yang ada pada keduanya.

Irisan dari sekumpulan himpunan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang merupakan anggota dari semua himpunan yang ada dalam kumpulan tersebut.

2. Gabungan (union)

Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B. Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka 

A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :     

Jika A dan B adalah himpunan maka union dari A dan B dinotasikan dengan AUB adalah himpunan yang berisi semua elemen yang ada pada A, B, maupun keduanya.

Gabungan dari sekumpulan himpunan adalah himpunan yang berisi semua elemen yang merupakan anggota dari sedikitnya satu himpunan dalam kumpulan tersebut.

3. Komplemen (complement)

Komplemen  dari  suatu  himpunan  merupakan  unsur -unsur  yang ada pada himpunan universal   (semesta pembicaraan )  kecuali  anggota  himpunan  tersebut.   Misalkan  A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh :

A  = { x | x ∈ U   dan  x ∉ A }    

            Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Jika U adalah himpunan universal, komplemen himpunan A dinotasikan dengan ~A adalah komplemen dari A terhadap U. Dengan kata lain berlaku komplemen himpunan A adalah U-A

4. Selisih (difference)

Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B. Selisih  antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘.

            Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh 

             A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } =  A ∩  B 

            Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B = { b, d, e, g, h }

A – B = { a, c }

B – A = { b, c }

Kesimpulan umumnya: A – B ≠ B – A

Jika A dan B adalah himpunan, maka beda A dan B dinotasikan dengan A-B adalah himpunan yang berisi elemen yang ada di A tapi tidak ada di B. Beda tersebut diistilahkan sebagai komplemen B terhadap A.

5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda  ‘ ⊕ ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh  :

            A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) 

= (A – B) ∪ (B – A)

           

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :  

Contoh:   

Jika A = { a, b, c, d, e } dan  B = { b, d, e, f, g, h },  maka  A ⊕ B = { a, c, f, g, h }

Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

            (a) A ⊕ B = B ⊕ A                                       (hukum komutatif)

            (b) (A ⊕ B )  ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C )             (hukum asosiatif)

6. Perkalian Kartesian (cartesian product)

Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda  ‘× ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B   dinotasikan  oleh  :

A × B = {(a, b)| a ∈ A dan b ∈ B }

Contoh:

(i) Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka 

            C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka

            A × B = himpunan semua titik di bidang datar

Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan  hasil  dari  suatu  perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah perkalian  antara  kardinalitas  masing-masing himpunan.  Dengan demikian, jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:

|A × B| = |A|.|B|

Pasangan terurut (a,b) berbeda dengan (b,a), dengan kata lain (a,  b)  ≠ (b,  a). Dengan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu 

A × B ≠ B × A

dimana A atau B  bukan himpunan kosong.

            Jika A = ∅ atau B = ∅,  maka A × B = B × A =  ∅

Jika A dan B adalah himpunan, maka Cartesian Product dari A dan B yang dinotasikan dengan A x B merupakan himpunan dari semua pasangan terurut elemen A dan B. Sehingga AXB={(a,b)| a ∈ A ∩ b ∈ B}

Hukum hukum mengenai operasi himpunan akan dijelaskan kemudian pada tabel 1.1 subbab prinsip dualitas himpunan.

1.4  Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. 

Prinsip Dualitas pada Himpunan dapat dijelaskan sebagai berikut : Misalkan  S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti  ∪,  ∩, dan komplemen. Jika  S* merupakan kesamaan yang berupa dual dari S maka dengan mengganti  ∪ → ∩,  ∩ → ∪,  ∅ → U, U → ∅, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka  operasi-operasi tersebut pada kesamaan S* juga benar. 

1.4 Multi Set dan Fuzzy Set

1.4.1  Multi Set

Himpunan yang unsurnya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut multi set (himpunan ganda). 

Contoh:

A =  {1, 1, 1, 2, 2, 3}, 

B =  {2, 2, 2}, 

C =  {2, 3, 4}, 

D =  {}.   

Multiplisitas  dari  suatu  unsur  pada   multi  set   adalah  jumlah kemunculan unsur tersebut 

pada multi set tersebut.  

Contoh: 

M = { 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1 }, 

multiplisitas 1 adalah 4 dan multiplisitas 2  adalah 3,  sementara  itu  multiplisitas  3 adalah 2.

Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu  multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap unsurnya adalah 0 atau 1. Himpunan yang multiplisitas dari unsurnya 0  adalah himpunan kosong.

Misalkan P dan Q adalah multiset,  operasi yang berlaku pada dua buah multi set tersebut adalah sebagai berikut :

1. P ∪ Q merupakan suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas    maksimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh : 

P = { a, a, a, c, d, d } dan  Q ={ a, a, b, c, c }, 

            Maka P ∪ Q = { a, a, a, b,  c, c, d, d }

2. P ∩ Q adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas 

            minimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh :

P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } 

            Maka P ∩ Q = { a, a, c }

3. P – Q  adalah  suatu   multiset  yang  multiplisitas  unsurnya sama dengan multiplisitas unsur tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, ini berlaku jika jika selisih multiplisitas tersebut adalah positif.  Jika  selisihnya nol atau negatif maka multiplisitas unsur tersebut adalah nol. Contoh :

P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = {  a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } 

maka  P – Q  = { a, e }

4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas unsur tersebut pada P dan Q.Contoh: 

P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },

            maka P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

1.4.2  Fuzzy set

Misalkan, U  merupakan himpunan semesta pembicaraan (Universal Set). Crisp Set  merupakan  himpunan bagian dari U  yang membedakan antara anggota dan bukan anggotanya dengan batasan yang jelas (pasti). Contoh :

   A = {x | x ∈ Z  dan  x > 2}   atau  A = {3, 4, 5, …} maka 3 ∈ A  dan  1∉ A

Pada suatu Fuzzy set, anggotanya mempunyai nilai keanggotaan  tertentu yang ditentukan oleh membership function (fungsi keanggotaan). 

Fungsi  keanggotaan  mempunyai  kisaran antara nol dan satu. Notasi dari fungsi keanggotaan adalah  µA(x) = [0,1]. Contoh :

A = {5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80} , merupakan crisp set umur dalam tahun.

Fuzzy set “balita”, “dewasa”, “muda”, dan “tua” adalah subset dari A. 

Dari tabel tersebut diperlihatkan bahwa :

•  Balita = { }

•  Anak-anak = {5, 10, 20} dengan fungsi keanggotaan µAnak-anak = {1, 1, 0.2} 

•  Muda = {5, 10, 20, 30, 40, 50}dengan fungsi keanggotaan µMuda = {1, 1, 0.8, 0.5, 0.2, 0.1}

•  Dewasa = {20, 30, 40, 50, 60, 70, 80}dengan fungsi keanggotaan µDewasa = {0.8, 1, 1, 1, 1, 1, 1}

•  Tua = {20, 30, 40, 50, 60, 70, 80}dengan fungsi keanggotaan µTua = {0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, 1}

Ada beberapa cara menyatakan fuzzy  set yaitu :

1. Tua = 0.1/20 + 0.2/30 + 0.4/40 + 0.6/50 + 0.8/60 + 1/70 + 1/80
2. Tua = {0.1/20,0.2/30,0.4/40,0.6/50,0.8/60,1/70,1/80}
3. Tua = {(0.1,20), (0.2,30), (0.4,40), (0.6,50), (0.8,60), (1,70), (1,80)}  

Ada beberapa cara (yang biasa dipakai) dalam menentukan fungsi keanggotaan (membership function)  suatu fuzzy  set, antara lain menggunakan Fungsi Sigmoid, Fungsi Segitiga, Fungsi Trapesium, dan Fungsi Phi.

Beberapa operasi dasar Fuzzy Set ditunjukkan sebagai berikut :

1. Komplemen (Complement)

µTua = {0/5, 0/10, 0.1/20, 0.2/30, 0.4/40, 0.6/50, 0.8/60, 1/70, 1/80}

maka komplemennya adalah

            1- µTua = {1/5, 1/10, 0.9/20, 0.8/30, 0.6/40, 0.4/50, 0.2/60, 0/70, 0/80}

2. Gabungan (Union / Disjunction)

µMuda = {1/5, 1/10, 0.8/20, 0.5/30, 0.2/40, 0.1/50, 0/60, 0/70, 0/80}

µTua = {0/5, 0/10, 0.1/20, 0.2/30, 0.4/40, 0.6/50, 0.8/60, 1/70, 1/80}

Maka µTua ∪ µMuda  = {1/5, 1/10, 0.8/20, 0.5/30, 0.4/40, 0.6/50, 0.8/60, 1/70, 1/80}

3. Irisan (Intersection /Conjunction) :  

            µMuda ∩ μTua = {0/5, 0/10, 0.1/20, 0.2/30, 0.2/40, 0.1/50, 0/60, 0/70, 0/80}

 

•  Rangkuman
  Teori Himpunan

1.    Sebuah objek dalam suatu himpunan disebut sebagai elemen atau anggota himpunan. Dan suatu himpunan harus memiliki elemen atau anggota himpunan. 
2.   Dua himpunan dikatakan ekivalen jika dan hanya jika memiliki anggota himpunan yang sama.
    
3. Himpunan A disebut sebagai subset dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Kita menggunakan notasi ACB untuk menunjukkan bahwa A adalah subset dari B
     
4. Himpunan yang tidak berhingga disebut himpunan infinit
5. Jika ada sejumlah n elemen dalam himpunan S dimana n adalah nonnegative integer maka dikatakan bahwa S adalah himpunan terhingga dan n adalah kardinalitas dari S, dinotasikan dengan |S|
6. Jika S adalah suatu himpunan, maka yang disebut dengan power set adalah semua subset dari himpunan S. Power set dinotasikan sebagai P (S) 
7. Himpunan tidak harus menyebutkan anggotanya secara berurutan. Ketika urutan itu dianggap penting, maka struktur yang berbeda akan diperlukan untuk menyatakan urutannya. Inilah yang disebut sebagai ordered n-tupples. Dalam struktur ini jika tertulis (a,b,c,…) maka a akan menjadi elemen pertama, b elemen ke dua, c elemen ketiga dan seterusnya 
8. Jika A dan B adalah himpunan, maka Cartesian Product dari A dan B yang dinotasikan dengan A x B merupakan himpunan dari semua pasangan terurut elemen A dan B. Sehingga AXB={(a,b)|aEAnbEB}

•  Operasi Himpunan

1. Jika A dan B adalah himpunan maka union dari A dan B dinotasikan dengan AUB adalah himpunan yang berisi semua elemen yang ada pada A, B, maupun keduanya
2. Jika A dan B adalah himpunan maka irisan A dan B dinotasikan dengan AnB adalah himpunan yang berisi semua elemen yang ada pada keduanya
3. Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) bila irisannya adalah himpunan kosong 
4. Jika A dan B adalah himpunan, maka beda A dan B dinotasikan dengan A-B adalah himpunan yang berisi elemen yang ada di A tapi tidak ada di B. Beda tersebut diistilahkan sebagai komplemen B terhadap A 
5. Jika U adalah himpunan universal, komplemen himpunan A dinotasikan dengan ~A adalah komplemen dari A terhadap U. Dengan kata lain berlaku komplemen himpunan A adalah U-A  
6. Gabungan dari sekumpulan himpunan adalah himpunan yang berisi semua elemen yang merupakan anggota dari sedikitnya satu himpunan dalam kumpulan tersebut 
7. Irisan dari sekumpulan himpunan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang merupakan anggota dari semua himpunan yang ada dalam kumpulan tersebut